Codeforces Global Round 7 D. Prefix-Suffix Palindrome


题意简述

给定一个字符串$s$,找到字符串的前缀$a$和后缀$b$合成为$t(t=a+b)$,$a$和$b$可以为空,求出长度最长的$t$

数据范围

$s\leq 10^6$

题解

呜呜呜,这题现场想了半天还是只会easy
其实这题主要瓶颈在于求最长前缀回文串,我们首先可以用双指针扫一遍,具体来说就是一开始$i=1,j=n$,如果$s[i]==s[j]$那么$i++,j–$这样找到最大的长度,那么接下来把这两段去掉,在新的字符串里找到最长的前缀回文串和最长的后缀回文串,两个比较一下大小再加上原来得到的两段,就是最长
那么会不会有一种情况是只取前缀或者后缀更优呢?其实是不存在这种情况的,比如一个后缀是回文,先把前后相等的去掉了几个,因为回文串是对称的,那么后缀的那个回文串左右两边都去掉中间剩下的还是回文,而这个回文是可以被找到了,再加上原来的两边,就等价于原来的后缀回文串了
因为$10^6$的复杂度,所以现在的瓶颈就是要$O(n)$的处理出前缀/后缀最长回文串,这里就有两种思路来解决问题了
一种是很巧妙的kmp算法,比如我们要求前缀最长回文,我们可以把剩下的$s$拿出来,把$s$翻转得到$t$,对于s+#+t跑一遍kmp得到$nex[n]$,为什么中间要加#呢,这是为了防止溢出,因为前缀最长肯定也是小于等于原串长度的,假如是相等的串那么就会答案算大,所以中间插入#保护一下
那么为什么这样就能算出前缀最长回文串呢,我们不妨考虑一下$nex$数组的意义,前缀和后缀相等的最大长度,注意到我们把原串翻转了,而回文串的性质就是翻转以后相等,恰好和kmp一模一样,并且由于我算的是前缀最大,所以前缀回文串的性质也就满足了,后缀也是同理
第二种是马拉车(manacher),因为马拉车是中心扩展法的优化版本,对于字符串逐个扫一遍,所以我们只要在扫的时候判断一下当前点加上半径能不能到达首或者尾就能判断是不是前缀/后缀了
最后给出kmp做法的代码

AC代码

#include<cstdio>
#include<algorithm>
#include<cstring>
#include<iostream>
#include<vector>
#include<queue>
#include<cmath>
#include<map>
#include<set>
#define ll long long
#define F(i,a,b) for(int i=(a);i<=(b);i++)
#define mst(a,b) memset((a),(b),sizeof(a))
#define PII pair<int,int>
#define rep(i,x,y) for(auto i=(x);i<=(y);++i)
#define dep(i,x,y) for(auto i=(x);i>=(y);--i)
using namespace std;
template<class T>inline void rd(T &x) {
  x=0; int ch=getchar(),f=0;
  while(ch<'0'||ch>'9'){if (ch=='-') f=1;ch=getchar();}
  while (ch>='0'&&ch<='9'){x=(x<<1)+(x<<3)+(ch^48);ch=getchar();}
  if(f)x=-x;
}
const int inf=0x3f3f3f3f;
const int maxn=2000050;
int T,n,nex[maxn];
string s;
int calc_pre(string s)
{
  string t=s;
  int n=s.size();
  reverse(s.begin(),s.end());
  t+=("#"+s);
  rep(i,0,2*n+1) nex[i]=0;
  for(int i=1,j=0;i<2*n+1;i++)
  {
    while(j&&t[j]!=t[i]) j=nex[j-1];
    if(t[i]==t[j]) j++;
    nex[i]=j;
  }
  return nex[2*n];
}
int calc_suf(string s)
{
  string t=s;
  int n=s.size();
  reverse(t.begin(),t.end());
  t+=("#"+s);
  rep(i,0,2*n+1) nex[i]=0;
  for(int i=1,j=0;i<2*n+1;i++)
  {
    while(j&&t[i]!=t[j]) j=nex[j-1];
    if(t[i]==t[j]) j++;
    nex[i]=j;
  }
  return nex[2*n];
}
int main()
{
  cin>>T;
  while(T--)
  {
    cin>>s;
    n=s.size();
    if(n==1){cout<<s<<endl;continue;}
    int i=0,j=n-1;
    int len=0,flag=0;
    while(i<j)
    {
      if(s[i]==s[j]) i++,j--,len++;
      else break;
    }
    if(len==n/2)
    {
      cout<<s<<endl;
      continue;
    }
    else
    {
      int t1=calc_pre(s.substr(i,n-2*len));
      int t2=calc_suf(s.substr(i,n-2*len));
      if(t1>t2)
      {
        string ans=s.substr(0,i+t1)+s.substr(n-1-len+1);
        cout<<ans<<endl;
      }
      else 
      {
        string ans=s.substr(0,len)+s.substr(n-1-len-t2+1);
        cout<<ans<<endl;
      }
    }
  }
  return 0;
}

文章作者: songhn
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